数学


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演算


\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta}\to Scalar
\vec{\alpha}\times\vec{\beta}\to Vector
\vec{\alpha}\circ\vec{\beta}\to Matrix
\vec{\alpha}\wedge\vec{\beta}\to Tensor

たとえば
\vec{\alpha}=(a_1,a_2,a_3)\vec{\beta}=(b_1,b_2,b_3)
のとき
\vec{\alpha}\cdot\vec{\beta}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3
\vec{\alpha}\times\vec{\beta}=(a_2b_3-a_3b_3,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1)
\vec{\alpha}\circ\vec{\beta}= (a_ib_j)
\vec{\alpha}\wedge\vec{\beta}=\vec{\alpha}\circ\vec{\beta}-\vec{\beta}\circ\vec{\alpha}=(a_ib_j-a_jb_i)

\vec{\alpha}\times\vec{\beta}=\ast(\vec{\alpha}\wedge\vec{\beta})\\
 *はホッジ作用素

内積は 行ベクトル×列ベクトル
直積は 列ベクトル×行ベクトル


ゼータ関数


 \displaystyle \zeta(s)=\sum^\infty_{k=1}  {1 \over k^s}
s=1のとき調和級数
 \displaystyle \zeta(1)=\sum^\infty_{k=1}  {1 \over k}={1 \over 1}+{1 \over 2}+{1 \over 3}+\dots
s=2のときバーゼル問題
 \displaystyle \zeta(2)=\sum^\infty_{k=1}  {1 \over k^2}={\pi^2 \over 6}
ゼータ関数とオイラー積
 \displaystyle \zeta(s)=\sum^\infty_{k=1}  {1 \over k^s}=\prod _{prime:p}\frac{1}{1-{1 \over p^s}}


倍角の公式


2倍角
 cos2\theta = cos^2\theta - sin^2\theta
 sin2\theta = 2cos\theta sin\theta
3倍角
 cos3\theta = 4cos^3\theta - 3cos\theta
 sin3\theta = 3cos\theta - 4sin^3\theta
4倍角
 cos4\theta = 8cos^4\theta - 8cos^2\theta+1
 sin4\theta = -8sin^3\theta cos\theta + 4sin\theta cos\theta
5倍角
 cos5\theta = 16cos^5\theta - 20cos^3\theta + 5cos\theta
 sin5\theta = 16sin^5\theta - 20sin^3\theta + 5sin\theta
6倍角
 cos6\theta = 32cos^6\theta - 48cos^4\theta + 18cos^2\theta -1
 sin6\theta = 32sin^5\theta cos\theta - 32sin^3\theta cos\theta + 6sin\theta cos\theta
7倍角
 cos7\theta = 64cos^7\theta - 112cos^5\theta + 56cos^3\theta -7cos\theta
 sin7\theta =-64sin^7\theta + 112sin^5\theta - 56sin^3\theta + 7sin\theta
8倍角
 cos8\theta = 128cos^8\theta - 256cos^6\theta + 160cos^4\theta - 32cos^2\theta +1
 sin8\theta =-128sin^7\theta cos\theta + 192sin^5\theta cos\theta - 80sin^3\theta cos\theta + 8sin\theta cos\theta
9倍角
 cos9\theta = 256cos^9\theta - 576cos^7\theta + 432cos^5\theta -120cos^3\theta +9cos\theta
 sin9\theta = 256sin^9\theta - 576sin^7\theta + 432sin^5\theta -120sin^3\theta +9sin\theta
10倍角
 cos10\theta = 512cos^10\theta -1280cos^8\theta +1120cos^6\theta -400cos^4\theta +50cos^2\theta -1
 sin10\theta = 512sin^9\theta cos\theta -1024sin^7\theta cos\theta + 672sin^5\theta cos\theta - 160sin^3\theta cos\theta + 10sin\theta cos\theta


ヘルムホルツ方程式


(\nabla^2+k^2)E=0      \nablaは空間オペレータ
簡単化して一次元で考えると
{d^2E \over dx^2}+k^2E=0
一般解は
E=Ae^{-kx}+Be^{kx}      (A,Bは任意定数)
シュレディンガー方程式とかマクスウェル方程式は時間変化が無視できるときヘルムホルツ方程式として扱えるので簡単

エディントンのイプシロン


\epsilon_{ijk} = \left\{\begin{matrix} 1, & \mbox{if }(i, j, k) = (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) \\-1, & \mbox{if }(i, j, k) = (1, 3, 2), (3, 2, 1), (2, 1, 3) \\0, & \mbox{otherwise} \end{matrix} \right
順方向は正
逆方向は負
3階の擬テンソルらしい

ヘビサイドの展開定理


留数を用いて部分分数分解を楽に行う
   f(x)=\frac{1}{(x-\alpha)(x-\beta)}=\frac{A}{(x-\alpha)}+\frac{B}{(x-\beta)}
各係数は特異点における留数を求めればよいので
   A=Res(f,\alpha)=(x-\alpha)f(x)|_{x=\alpha}
   B=Res(f,\beta)=(x-\beta)f(x)|_{x=\beta}
Resはレジデューって読むそうです。
なんかピカチューみたい
AとBは逆符号とか似た値になるので大きくが違うときは見直したほうが良い(経験則


素数定理


   \pi(n) \simeq {n \over \ln n}
\pi(n)は素数個数関数
右辺の誤差のオーダーは
   O\left(\frac{n}{(\ln n)^2}\right)
nが十分に大きい場合n\ln nの間には「nまでに含まれる素数の個数」の関係があるという美しい定理

フェルマーの最終定理


フライがフェルマー方程式が成り立つならば(フェルマー予想が偽であれば)楕円方程式で表せることを示す。
     ↓
これにより得られる方程式は楕円方程式として異常な性質を持つため全ての楕円方程式はモジュラーであるという谷山・志村予想に反する。よって
 「谷山・志村予想の証明 = フェルマーの最終定理の証明」
     ↓
ワイルズがコリヴァギン・フラッハ法で帰納法をを用いて全ての楕円方程式がモジュラーであることを証明。
しかし、コリヴァギン・フラッハ法だけでは全ての場合に対応できなかったので証明失敗。(´・ω・`)
     ↓
ワイルズはコリヴァギン・フラッハ法の前に候補としていた岩澤理論を用いればコリヴァギン・フラッハ法がダメな場合に対応できると気づき完全にQED。

   まさにドラマ

四元数(しげんすう、クォータニオン)


   w+x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}

   \vec{i}\vec{j}\vec{k}は同等な虚数単位

同じもの同士の積は虚数の性質
   \vec{i}\times\vec{i}=-1
   \vec{j}\times\vec{j}=-1
   \vec{k}\times\vec{k}=-1

違うもの同士の積は外積の性質
   \vec{i}\times\vec{j}=\vec{k}   \vec{j}\times\vec{i}=-\vec{k}
   \vec{j}\times\vec{k}=\vec{i}   \vec{k}\times\vec{j}=-\vec{i}
   \vec{k}\times\vec{i}=\vec{j}   \vec{i}\times\vec{k}=-\vec{j}

電磁気等で使われるベクトル場はスカラ部=0としてベクトル部のみを使用する四元数


3次元空間での座標変換


通常座標
    \vec{x}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}
では全ての座標変換を表現しきれないので同次形を用いる
非同次形
    x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}=w
同次形
    w+x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}=0
同次座標
    \vec{\bar{x}}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}
よって、三次元の座標変換には四元数を導入すればよいことがわかる

同次座標に対しアフィン変換の一般形は次のように与えられる
    H=\begin{pmatrix}R&\vec{t}\\0^T&s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&t_1\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&t_2\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&t_3\\0&0&0&s\end{pmatrix}

ここでアフィン変換に対してはRに直交性は問われない。
アフィン変換 R、s:任意 大きさ、形が可変
相似変換 R:直行、s:任意 大きさ不変、形は不変
合同変換 R:直行、s=1 大きさ、形ともに不変

合同変換の回転、平行移動は
 x軸回りのΘ°回転
   rot(x,\theta)=R_x(\theta)=\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&cos{\theta}&-sin{\theta}&0\\0&sin{\theta}&cos{\theta}&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}

 y軸回りのΦ°回転
   rot(y,\phi)=R_y(\phi)=\begin{pmatrix}cos{\phi}&0&sin{\phi}&0\\0&1&0&0\\-sin{\phi}&0&cos{\phi}&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}

 z軸回りのΨ°回転
   rot(z,\psi)=R_z(\psi)=\begin{pmatrix}cos{\psi}&-sin{\psi}&0&0\\sin{\psi}&cos{\psi}&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}

 \vec{t}=\begin{pmatrix}t_1&t_2&t_3\end{pmatrix}^Tの平行移動
    trans(\vec{t})=\begin{pmatrix}O&\vec{t}\\0^T&s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0&0&t_1\\0&0&0&t_2\\0&0&0&t_3\\0&0&0&1\end{pmatrix}

変換行列は直行行列なのでそれぞれの逆変換は簡単に得られる。
   rot(x,\theta)^{-1}=rot(x,-\theta)
   rot(y,\phi)^{-1}=rot(y,-\phi)
   rot(z,\psi)^{-1}=rot(z,-\psi)
   trans(\vec{t})^{-1}=trans(-\vec{t})

変換行列の組み立て


oldという座標系で与えられる点Pがnewという座標系に変換されると
  P_{old}=HP_{new} (Hは同次変換行列)
これより、
  P_{new}=H^{-1}P_{old}

例えばnewの座標系がoldの座標系から\vec{t}平行移動して、x'軸方向にΘ、z"軸方向にΨ回転したもののだとすると
(座標系はOxyz→O'x'y'z'→O"x"y"z"→・・・と変換の度に変化)
    H=trans(\vec{t})rot(x',\theta)rot(z",\psi)
よって
    H^{-1}=rot(z",-\psi)rot(x',-\theta)trans(-\vec{t})
oldの同次座標に対してこれを左から乗じればnewの世界から見たP点の座標値が得られる。

この式は、右手座標系、左手座標系のどちらにも対応した一般系であるが、この場合角度の取りかたは右手系は反時計回りが正(右ねじ)、左手系が時計回り(左ねじ)となる。
もし左手系の角度の正の方向を反時計回りに取れば、角度は負の方向に増えるので
    \displaystyle H^{-1}=rot(z",-(-\psi))rot(x',-(-\theta))trans(-\vec{t})
         =rot(z",\psi)rot(x',\theta)trans(-\vec{t})
となる。
左手座標系の場合で左ねじを用いた場合、回転時の三角関数の値域が逆になってくるので右ねじに直したこちらを使った方がよい。

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