ウェーブレット変換

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離散ウェーブレット変換
- $f(t) = \sum_j \sum_k w_k^{(j)}\psi_{j,k}(t)$
- 近似関数 $f_0(t) = \sum_k s_k\phi(t-k)$
- スケーリング係数； $s_k^{(j)} = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\bar{\phi_{j,k}}dt$ 、 $\phi$ ；スケーリング関数、 $\phi_{j,k}(t) = 2^{-\frac{j}{2}}\phi(2^{-j}t-k)$
- ウェーブレット係数； $w_k^{(j)} = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)\bar{\psi_{j,k}}dt$ 、 $\psi$ ；ウェーブレット関数、 $\psi_{j,k}(t) = 2^{-\frac{j}{2}}\psi(2^{-j}t-k)$
- ツースケール関係；
  - $\phi_{j,k}(t) = \sum_n p_{n-2k}\phi_{j-1,n}(t),\ \ \phi(x) = \sum_k p_k \phi(2x-k)$
  - $\psi_{j,k}(t) = \sum_n q_{n-2k}\psi_{j-1,n}(t),\$ $\psi(x) = \sum_k q_k \phi(2x-k)$
- 再構成
  - $f_{j-1}(t) = f_j(t)+g_j(t) = \sum_k s_k^{(j)} \phi_{j,k}(t) + \sum_k w_k^{(j)}\psi_{j,k}(t)$
マザーウェーブレット
- メキシカン・ハット；
  - サンプルプログラム
- シャノン・ウェーブレット(Shannon Wavelet)； $\psi(x) = 2\text{sinc}(2\pi x)-\text{sinc}(\pi x)$
- ガボール・ウェーブレット(Gabor Wavelet)； $\psi(x) =\frac{1}{2\sqrt{\pi \sigma}}e^{-\frac{t^2}{4\sigma^2}}$
- ドベシィ・ウェーブレット(Daubechies' Wavelet)；
マザーウェーブレットが満たさねばならない条件
- 理論上
  - 正規直交条件； $\int_{-\infty}^{\infty}\bar{\psi(x-m)}\cdot \psi(x-n)dx = \delta_{n,m}$
  - コンパクトサポート条件； $\int_{-\infty}^{\infty}\psi(x)dx = 0$
- 実装上
  - $\sum_k p_k = \sqrt{2},\ \ \sum_k q_k = 0$
  - $\sum_k p_k q_{k+2m} = 0,\ \ \sum_k p_k p_{k+2m} = 0,\ \ \sum_k q_k q_{k+2m} = 0,\ \ (m != 0)$
参考文献

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最終更新：2007年11月07日 19:56

ikusher @ ウィキ

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